[目次]

命題と論理（続き）

1. 前回の「∨∧¬⇒」に続けて、「⇔」という演算を導入しました。
2. P, Q, …に関する２つの式 f(P, Q, …)、g(P, Q, …) に対し、 f(P, Q, …)⇔g(P, Q, …)が恒真命題である（すなわちP, Q, …の真偽に関わらず 真になる）とき、f(P, Q, …)、g(P, Q, …) は同値であるといい、 f(P, Q, …) ≡ g(P, Q, …) と書きます。
3. 限定命題について学びました。

■限定命題

「x は偶数である」のように変数xに具体的なものが代入されれば命題になるものを 命題関数といい、P(x)のように表します。

次の２種類を「限定命題」と呼びます。

• ∀x (P(x)) ：任意の（すべての）xに対してP(x)が真である。
• ∃x (P(x)) ：あるxに対して、P(x)が真である。P(x)が真であるようなxが存在する。

それぞれの否定は次で与えられます：

• ¬(∀x (P(x))) ≡ ∃x(¬P(x))
• ¬(∃x (P(x))) ≡ ∀x(¬P(x))

∀ｘ（Ｐ(ｘ)）型の限定命題

ほとんどの場合、∀ｘ（Ａ(ｘ)⇒Ｂ(ｘ)）のような形で使われます。

例：∀ｎ（ｎが自然数である⇒ｎ(ｎ＋１)は偶数である）
これを普通のことばで表現するとき
　　任意のｎに対し、ｎが自然数であるならばｎ(ｎ＋１)は偶数である。
のように書くと、どこで切れているのかわかりにくいですし、不自然ですので、
　　任意の自然数ｎに対し、ｎ(ｎ＋１)は偶数である。
とか、いっそのこと「任意のｎに対し」を省略して、
　　ｎが自然数であるならばｎ(ｎ＋１)は偶数である。
のように書く方がわかりやすくなります。

∃ｘ（Ｐ(ｘ)）型の限定命題

ほとんどの場合、∃ｘ（Ａ(ｘ)∧Ｂ(ｘ)）のような形で使われます。

例：∃ｎ（ｎは自然数である∧ｎ²＋ｎ−６＝０）
これを普通のことばで表現するとき
　　ｎが自然数であり、かつｎ²＋ｎ−６＝０が成りたつようなｎが存在する。
のように書くと、やはりわかりにくく、不自然ですので、
　　自然数であり、かつ、ｎ²＋ｎ−６＝０をみたすようなｎが存在する。
とか、さらには、
　　ｎ²＋ｎ−６＝０をみたすような自然数ｎが存在する。
のように表現するとよいでしょう。

演習

• 演習プリント No.2
  [1]と[2](1)〜(3)がすみました(否定はまだ)。 次回は[2](4)の解説をします。