[目次]

集合（続き）

■集合

1. 部分集合を列挙する問題
2. ∪∩に関する分配法則
   • A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
   • A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
3. ∪∩に関する結合法則 (p.8 問1.7)
   • A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C
   • A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C
4. 補集合 A^cに関するいくつかの公式　（Uは全体集合）
   • (A∪B)^c＝A^c∩B^c
   • (A∩B)^c＝A^c∪B^c
   • (A^c)^c＝A
   • U^c＝φ
   • φ^c＝U

プリントの[3](4)を解きました。

演習

• 演習プリント No.2
  [3](1)(2)(3)を検討しました。(5)は次回までのレポート問題です。

証明問題のヒント：

A⊂Bを示すタイプの問題

x ∈ A ⇒　……
　　　　 ⇒　……
　　　　 ⇒　x ∈ B

A＝Bを示すタイプの問題

1. 直接次のような議論を行う
   x ∈ A ⇔　……
   　　　　 ⇔　……
   　　　　 ⇔　x ∈ B
2. A⊂B かつ B⊂A であることを個別に証明する

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前回のレポートについて

プリントNo.2[2](3)(5)の各命題の否定を作りなさい （式によるものと、ことばによるものの両方）。

※　単に先頭に「¬」をつけたり、最後に「（〜）ではない。」をつけたりするのではなく、 わかりやすい形にすることが期待されました。

解答例：

(3) 元の命題「x²=-1 をみたす実数 x が存在する。」は、
　　　P(x) : x は実数である。
　　　Q(x) : x²=-1 が成り立つ。
とおくと「∃x (P(x) ∧ Q(x))」と表せます。従って、この否定は次のようになります：
　　　　¬（ ∃x (P(x) ∧ Q(x)) ）
　　≡　∀x （ ¬( P(x) ∧ Q(x) ) ）
　　≡　∀x （ ¬P(x) ∨ ¬Q(x) ）
　　≡　∀x （ P(x) ⇒ ¬Q(x) ）
これを、ことばで表現すると次のようになります：
　　　任意の実数 x に対して、x²≠-1 が成り立つ。……(*)

これを
　　　任意の x に対して x が実数であるならば x²≠-1 が成り立つ。
と書いている答案が多かったですが、これはよい表現ではありません。 「任意の x に対して」の部分が「x が実数である」の部分につながっていると 解釈してしまうと
　　　「任意の x に対して x が実数である」ならば……
と読んでしまい、一体なんのことかわからなくなり、その先まで読んでやっと
　　　任意の x に対して「 x が実数であるならば x²≠-1 が成り立つ」。
とわかります。ことばで表すときは、できるだけ誤解をさけるような表現をするべきです。 上の(*)のように書くか、
　　　x が実数であるならば、（必ず）x²≠-1 が成り立つ。
のように書くでしょう。「必ず」は省略してもかまいません。

もう一度「∀x （ A(x) ⇒ B(x) ）」の形の命題の「読み方」をまとめておきます：

• これは「x が何であっても、もし A(x) が成り立つならば B(x) が成り立つ」 という意味です。「、」を使ったり「もし」という言葉を使って、 誤解が生じにくくしているのに注目してください。
• 上の文はやや不自然なので、 「もし A(x) が成り立つならば、必ず B(x) が成り立つ」 と言い換えることができます。
• さらに「必ず」を省略して 「もし A(x) が成り立つならば、B(x) が成り立つ」と言っても通じます。
• 「もし〜ならば」を使わずに 「A(x) が成り立つようなどんな x に対しても、B(x) が成り立つ」 のような表現も可能です。
• 「任意の」ということばが使いたければ、 「A(x) が成り立つような任意の x に対して、B(x) が成り立つ」 と言いかえることもできます。
• 特に A(x) が「x は実数である」とか「x は正の数である」のような場合は、 上の表現にそのまま当てはめると不自然になるので、 「任意の実数 x に対して、B(x) が成り立つ」とか 「任意の正の数 x に対して、B(x) が成り立つ」のように言い換えます。
  
  
• 「任意の x に対して A(x) が成り立つならば B(x) が成り立つ」のような誤解を招く 表現は避けてください！

(3) の別解：
否定の式で、¬P(x)と¬Q(x) を入れ替えて、
　　　　∀x （ ¬Q(x) ∨ ¬P(x) ）
　　≡　∀x （ Q(x) ⇒ ¬P(x) ）
とすることもできます。つまり（　）の中の部分を対偶で置き換えるわけです。 これももちろん正しい解です。このようにした場合は、ことばで表現すると、
　　　もし x²＝-1 であるならば、x は実数ではない。
となります。

※　ちなみに、(3)の否定は「真」です。

(5) 「任意の自然数nに対して、x > n が成り立つような実数 x が存在する」
これは「、」を使って誤解が生じにくいような工夫はしてありますが、 わかりにくい表現です。 「もし n が自然数であるならば、x > n をみたす実数 x が存在する」 と書いても同じ意味です。 これは真です。

次のように命題関数を定義します：
　　　P(n) : n は自然数である。
　　　Q(x) : x は次数である。
　　　R(x,n) : x > n である。
すると上の命題は「∀n ( P(n) ⇒ ∃x ( Q(x) ∧ R(x,n) ))」となります。 これを否定しましょう（偽の命題ができます）：
　　　　¬（∀n ( P(n) ⇒ ∃x ( Q(x) ∧ R(x,n) ))）
　　≡　∃n（¬( P(n) ⇒ ∃x ( Q(x) ∧ R(x,n) ))）
　　≡　∃n（ P(n) ∧ ¬(∃x ( Q(x) ∧ R(x,n) ))）
　　≡　∃n（ P(n) ∧ ∀x ( ¬( Q(x) ∧ R(x,n) )) ）
　　≡　∃n（ P(n) ∧ ∀x ( ¬ Q(x) ∨ ¬ R(x,n) ) ）
　　≡　∃n（ P(n) ∧ ∀x ( Q(x) ⇒ ¬ R(x,n) ) ）

ことばで表現すれば、
　　　次の条件をみたす実数 n が存在する： もし x が実数ならば必ず x ≦ n となる
もしくは、
　　　自然数 n で、任意の実数 x に対して x ≦ n となるようなものが存在する
と書けます。