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写像

■写像

集合 X の各要素xに対して、集合Yの中に対応する要素をひとつずつ決める決め方が定まっているとき、 その対応のことを f などの文字で表し、f は X から Y への写像であるといい、 f : X → Y のように表します。X を f の定義域、Y を f のターゲットと呼ぶことにします。 f により x が対応するYの元は f(x) で表します。 この要素 f(x) を f による x の像といいます。

ふたつの写像 f:X → Y と g:X' → Y' が等しいとは、次の３つの条件が成りたつことを言います。

1. それぞれの定義域が一致する：X=X'
2. それぞれのターゲットが一致する：Y=Y'
3. 各 x∈X=X' に対し、f(x)=g(x) が成りたつ

２の条件を忘れやすいので、気をつけましょう。 f と g　が等しいことを f = g と表します。

■写像の合成

ふたつの繋がった写像 f:X → Y, g:Y → Z に対し、その合成写像 g o f : X → Z を

　　　　(g o f)(x) ＝ g( f(x) )

で定義します。

■像と逆像

写像 f : X → Y が与えられているとします。

1. 部分集合 A ⊂ X に対し、f(A)＝｛f(x) | x ∈ A ｝と定めます。 これをfによるAの像といいます。
   f(A) は Yの部分集合です。
   
   
2. 部分集合 B ⊂ Y に対し、f^-1(B)＝｛x∈X | f(x) ∈ B ｝と定めます。 これをfによるAの逆像といいます。
   f^-1(B) は Xの部分集合です。
   
   

※　注意

1. １の f(A) と要素 x に対する f(x) は、同じ記号を使っていますが、 別のものであると認識してください。
2. ２のf^-1 は、逆関数(逆写像)を表す f^-1と 同じ記号ですが、別のものであると認識してください。
3. 上の定義式は必ず覚えてください。
4. 像や逆像がどの集合の部分集合かということも大事ですので、常に 意識してください。

演習

• 演習プリント No.2
  の[3]を色々解きました。

演習プリント No.3を配布しました。