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■全射・単射・全単射

写像 f : X → Y を考えます。

fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは全射であるといいます。
  1. f(X) = Y
  2. f(X) ⊃ Y
  3. ∀y（y ∈ Y ⇒ ∃x（x∈X ∧f(x)=y））
  4. ∀y（y ∈ Y ⇒ f-1(｛y｝) ≠φ ）
  5. ∀b（b ∈ Y ⇒ f-1(｛b｝) ≠φ ）
  6. ∀b（b ∈ Y ⇒ y=f(x) のグラフと y=b のグラフは共有点を持つ）


fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは単射であるといいます。
  1. ∀x, x'（x, x' ∈X ∧ x≠x'　⇒　f(x)≠f(x') ）
  2. ∀x, x'（x, x' ∈X ∧ f(x)＝f(x')　⇒　x＝x'）
  3. ∀y（y ∈ Y ⇒ f-1(｛y｝) の要素の個数は０個か１個 ）
  4. ∀b（b ∈ Y ⇒ f-1(｛b｝) の要素の個数は０個か１個 ）
  5. ∀b（b ∈ Y ⇒ y=f(x) のグラフと y=b のグラフの共有点の個数は０個か１個）


fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは全単射であるといいます。
  1. fは全射であり、かつ単射である。
  2. ∀y（y ∈ Y ⇒ f-1(｛y｝) の要素の個数は１個 ）
  3. ∀b（b ∈ Y ⇒ f-1(｛b｝) の要素の個数は１個 ）
  4. ∀b（b ∈ Y ⇒ y=f(x) のグラフと y=b のグラフの共有点の個数は１個）



演習