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小テスト：R²に離散距離を与える。 点列｛x_n｝をx_n＝(1/n,1/n)で定める。 これはコーシー列であるか？

点列の収束 (3)

まず、次の定理の証明を行いました。

定理：点列｛a_n｝に関して次が成り立つ：
　　　｛a_n｝は収束する　⇒　｛a_n｝はコーシー列である

数直線に関しては逆が成り立ちます。これを、「実数の完備性」と呼びます。 一般に、ある距離空間 (X,d) において、コーシー列が必ず収束するとき、その 距離空間は「完備である」といいます。

完備でない距離空間の例としては、半開区間 X=(0,1] に d(x,y)=|x-y| という 距離関数を与えたものなどがあります。この空間は次の意味で数直線の 「部分距離空間」になっています。

定義＋定理: 距離空間 (X,d_X) の部分集合 A を考える。 d:A x A → R を d(a,a')＝d_X(a, a') で定める（a, a'∈ A）。 このとき (A,d) は距離空間となる。このようにしてつくられた (A,d) を (X,d_X) の部分距離空間と呼ぶ。

完備な距離空間の例：

1. ユークリッド空間 Rⁿ は完備である。
2. 完備な距離空間の「閉集合」は完備な部分距離空間となる。

ただし、「閉集合」とは次のように定められます。

定義: A を距離空間 (X,d) の部分集合とする。 点列｛x_n｝が、x_n∈A （すべての n ）をみたし、 x_n → x （∈ X ）であるならば、 必ず x ∈ A であるとき、 A は (X,d) の閉集合という。

一般に閉集合とは限らない部分集合 A があたえられたとき、(X,d) の点たちは 次の２種類に分かれます：

1. A の中の点列の極限になる　（このとき、その点は A の「触点」であるという）
2. A の中の点列の極限ではない　（このとき、その点は A の「外点」であるという）

A の触点の全体を A^a と、肩に a をつけて表します。 次のことはすぐわかります：

定理：

1. A ⊂ A^a
2. A ＝ A^a ⇔ A は閉集合