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部分集合の内部・外部・境界 (2)

Aを距離空間(X,d)の部分集合とし、 Aの補集合 A^c を臨時に B と書くことにします。

定義： B=A^cの外部 B^e＝(A^c)^e＝ A^ce を A の「内部」といい、Aⁱ で表す。 内部の点を A の「内点」と呼ぶ。

X は、Aⁱ、A^f、A^e の３つの部分に分かれます。 これらは互いに共有点を持ちません。さらに上のようにB＝A^cとおくと、
　　　Aⁱ＝B^e, A^f＝B^f, A^e＝B^f
が成り立ちます。これを図で表すと次のようになります：

A ‖ Bc

Ac ‖ B

↓

Ai ‖ Be

Af ‖ Bf

Ae ‖ Bi

定理（一部は既出）

• x が A の内点 ⇔ ∃r＞0　（ N(x;r) ⊂ A ） ⇔ A^cの中の点列の極限にならない
• x が A の外点 ⇔ ∃r＞0　（ N(x;r)∩A ＝φ ） ⇔ A の点列の極限にならない
• x が A の触点 ⇔ ∀r＞0　（ N(x;r)∩A ≠φ ） ⇔ A の点列の極限になる
• x が A の境界点 ⇔ ∀r＞0　（ N(x;r)∩A ≠φ かつ N(x;r)∩A ≠φ） ⇔ A の点列の極限にもなるし、A^cの点列の極限にもなる

いくつかの例で内部・境界・外部・閉包を求めました。