[目次]

開集合・閉集合 (1)

最初に、全回までの議論をｎ次元の空間に拡張して、 ２点の距離 d⁽ⁿ⁾(x,y) （ユークリッドの距離、普通の距離などと呼ばれる）を導入しました。 そして、この距離が次の３つの性質をみたすことを証明しました：
D1： d⁽ⁿ⁾(x,y)≧0
　　　d⁽ⁿ⁾(x,y)＝0　⇔　x=y
D2： d⁽ⁿ⁾(x,y)＝d⁽ⁿ⁾(y,x)
D3： d⁽ⁿ⁾(x,z)　≦　d⁽ⁿ⁾(x,y)＋ d⁽ⁿ⁾(y,z)　　（三角不等式）
この性質は必ずおぼえて下さい。
Rⁿにこの距離を与えたものを「ｎ次元ユークリッド空間」と呼びます。

ｎ次元ユークリッド空間Rⁿの点 a と正数εが与えられたとき、 「点 a のε近傍」N(a;ε) を次のように定めます：
　　　N(a;ε) ＝ ｛ x ∈ Rⁿ | d⁽ⁿ⁾(x,a) ＜ ε ｝ これは、n＝1のときは開区間(a−ε, a＋ε), n=2 のときは中心a 、半径εの開円板、 n=3 のときは中心a 、半径εの開球体となります。一般のｎのときも、 これを中心a 、半径εの開球体と呼ぶことにします。

定義：Rⁿの部分集合が次の条件をみたすとき、Rⁿの 開集合であるという：
　　∀x∈U ∃ε＞0 （N(x;ε) ⊂ U）

レポート課題：x=(x₁, x₂, …, x_n), y=(y₁, y₂, …, y_n) ∈ Rⁿ に対して, 次が成り立つことを証明せよ：
　　　|x₁−y₁| ＋ |x₂−y₂| ＋ …… |x_n−y_n| ≦ n ‖ x − y ‖