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開集合・閉集合 (2)

開集合の具体例をいくつかあげました。

1. a ＜ b のとき, 区間 (a, b) は(R, d⁽¹⁾) の開集合。
2. 区間 (a, ∞) は(R, d⁽¹⁾) の開集合。
3. 区間 (−∞, b) は(R, d⁽¹⁾) の開集合。（小テスト）
4. 区間 (−∞, ∞) は(R, d⁽¹⁾) の開集合。
5. 空集合φ は(R, d⁽¹⁾) の開集合。
6. a∈Rⁿ, ε＞0 のとき, N(a;ε) は (Rⁿ, d⁽ⁿ⁾) の開集合
7. a ＜ b, c ＜ d のとき, 直積 (a, b) × (c,d) は (R², d⁽²⁾) の開集合。

その他、教科書の問題を解きました。残りは次回(11/15の補講のとき)やります。

定理：(Rⁿ, d⁽ⁿ⁾) において次が成り立つ。

1. U₁, U₂, ……, U_k が開集合ならば、 それらの共通部分 U₁ ∩ U₂ ∩ …… ∩ U_k も 開集合である。
2. 各添え字λ∈Λに対しU_λが開集合ならば、 それらの和集合 ∪_λ∈Λ U_λ も開集合である。

(1) では開集合の個数が有限個と制限があることに注意しましょう。 (2) では開集合の個数に制限はありません。証明は次回行います。