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方程式や不等式で与えられる図形について開集合になるか、閉集合になるか などの議論を行いました。

内部・外部に関する色々な性質

A, B ⊂ Rⁿ とします。

定理： 　　　A が開集合　⇔　A＝Aⁱ

定理： A ⊂ B ⇒ Aⁱ ⊂ Bⁱ

定理： Aⁱ や A^eは開集合である。 実際、Aⁱ はA に含まれる開集合たちの中で最大なもので、 A^e はA^c に含まれる開集合たちの中で最大なものである。

問： A^f は必ず閉集合である。

定理： (A∩B)ⁱ ＝ Aⁱ ∩ Bⁱ

注意：(A∪B)ⁱ ＝ Aⁱ ∪ Bⁱ は必ずしも正しくない。 例えば A として有理数全体の集合、Bとして無理数全体の集合を考えると、 左辺は直線全体、右辺は空集合となる。