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命題と論理（続き）

前回の復習を行い、小テストを実施しました。

小テスト：　（P ⇒（Q⇒R））≡（P∧Q⇒ R）　を証明せよ。

真理値表を用いた証明と、すでに習っている公式を用いた証明を解説しました。 また、この公式は、将来頻繁に使うので、よくおぼえておきましょう。

■限定命題

変数を持つ命題変数から２種類の限定命題を作る方法を説明しました：

　∀x（ P(x) ）「すべての x に対して P(x) が成り立つ」
　∃x（ P(x) ）「P(x) が成り立つような x が存在する」

ここで用いられている変数 x は「ダミー」ですので、他の好きな文字に取り替えても 同値な命題になります。定積分で用いる変数を取り替えても、値は変わらないのと同様です。
上のパターンは、通常、次のような形で使います：

　∀x（ P(x) ⇒ Q(x) ）
　「すべての x に対して、P(x) ならば Q(x) が成り立つ」
　「P(x) が成り立てば、必ず Q(x) が成り立つ」
　「P(x) が成り立つような任意の x に対して、Q(x) が成り立つ」
　「P(x) が成り立つようなすべての x に対して、Q(x) が成り立つ」


また、下のパターンは、通常、命題 Q(x) を考える前提となる条件 P(x) を組み合わせて、 つぎのような形で使います：

　∃x（ P(x) ∧ Q(x) ）
　「P(x) を満たすような x で、Q(x) が成り立つものが存在する」

演習

色々な限定命題について、日本語の文と論理式を用いた表現を比較しました。

小テスト：「方程式 x²-1 = 0 は正の解をもつ。」という命題を論理式で表しなさい。

解：∃x ( ( x > 0 ) ∧ (x² - 1 = 0 ) )
注：これは 「x² - 1 = 0 が成り立つような正の数 x が存在する」と読むとわかりやすいです。

教科書 p.8 の(ハ)の命題（４以上の偶数は２つの素数の和として表せる）を論理式を用いて 表す問題を検討中に時間がきました。次回に続けます。