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限定命題（続き）/ 集合と要素

限定命題で変数が複数の場合
　∀x, y（ P(x, y) ）
　∃x, y（ P(x, y) ）
のような書き方を許すことにしました。

■限定命題（続き）

限定命題の否定に関する基本公式を学びました：

　¬（∀x（ P(x) ））≡∃x（ ¬P(x) ）
　¬（∃x（ P(x) ））≡∀x（ ¬P(x) ）

■集合

集合や要素（元）の概念、および∈∋などの記号について学びました。 また自然数の集合をNで表すことにしました。

次に、次のような簡略化した書き方も許すことにしました。

　∀x（ x∈A ⇒ P(x) ）≡ ∀x∈A（ P(x) ）「Aの任意の元 x に対し, P(x) が成り立つ」
　∃x（ x∈A ∧ P(x) ）≡ ∃x∈A（ P(x) ）「P(x) が成り立つような Aの元x が存在する」

この書き方で、次の公式が成り立つことを示しました（演習）。

　¬（∀x∈A（ P(x) ））≡∃x∈A（ ¬P(x) ）
　¬（∃x∈A（ P(x) ））≡∀x∈A（ ¬P(x) ）

演習

宿題：
次のおのおのを∀または∃を用いて表しなさい。

(a) 任意の自然数 n に対して, 1/n は正の数である。
(b) 任意の自然数 n に対して, n²＋ n は偶数である。