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■全単射の逆写像・部分集合の像と逆像

単射・全射に関する証明問題を復習した後、全単射 f: A → B の逆写像 f^-1: B → A を f^-1(b)=a ⇔ f(b)=a で定義しました。また、公式

• f^-1 o f = I_A : A → A
• f o f^-1 = I_B : B → B

を解説しました。

続いて、写像による部分集合の像・逆像について説明しました。 写像 f : X → Y が与えられているとします。

1. 部分集合 A ⊂ X に対し、f(A)＝｛f(x) | x ∈ A ｝と定めます。 これをfによるAの像といいます。
   f(A) は Yの部分集合です。
   
   
2. 部分集合 B ⊂ Y に対し、f^-1(B)＝｛x∈X | f(x) ∈ B ｝と定めます。 これをfによるAの逆像といいます。
   f^-1(B) は Xの部分集合です。
   
   

※　注意

1. １の f(A) と要素 x に対する f(x) は、同じ記号を使っていますが、 別のものであると認識してください。本来、f(A) は f_*(A) のような、 別の記号を使うべきものなのですが、上の記号を使う人が圧倒的に多いですので、 慣れてください。
2. ２のf^-1 は、逆関数(逆写像)を表す f^-1と 同じ記号ですが、別のものであると認識してください。 本来、f^*(B) のような別の記号を使うべきものなのです。
3. 上の定義式は必ず覚えてください。
4. 像や逆像がどの集合の部分集合かということも大事ですので、常に 意識してください。

演習においてはプリントNo.3の１番を取り上げました。そして、 写像 f: X → Y が単射・全射・全単射であるための 「方程式の解の個数」による特徴付けを解説しました。

• f が単射である ⇔ ∀y∈Y（x の方程式 f(x)=y の解の個数が0か1である ）
• f が単射でない ⇔ ∃y∈Y（x の方程式 f(x)=y の解の個数が2以上である ）
• f が全射である ⇔ ∀y∈Y（x の方程式 f(x)=y の解の個数が1以上である ）
• f が全射でない ⇔ ∃y∈Y（x の方程式 f(x)=y の解の個数が0である ）
• f が全単射である ⇔ ∀y∈Y（x の方程式 f(x)=y の解の個数が1である ）
• f が全単射でない ⇔ ∃y∈Y（x の方程式 f(x)=y の解の個数が1でない ）

p.20の問題1.10(2)の途中で時間になりました。これは次回の演習で続きを解説します。