[目次]

幾何学II

■閉曲面

■小テスト：射影平面の中にはメビウスの帯が隠れています。 その「残り」はどんな図形でしょう。

答えは円板 D2 です。いろいろな考え方を説明しました。

いろいろな図形(2)で「曲面」の概念を導入しました。 曲面にはいろんな種類のものがあります。

まず、

  1. 境界のあるもの
  2. 境界のないもの
の２種類にわけられます。 境界については、すでにいろいろな図形(2)で説明しています。

また、そのおののに対して、

  1. コンパクトでないもの
  2. コンパクトなもの
の２種類があります。 コンパクトというのはもう忘れてしまったでしょうから、 曲面 M としてある次元のユークリッド空間の部分集合になっているものだけを考えます。 そのような M がコンパクトであるとは、「有界閉集合」になっていることをいいます。 「点列コンパクト」という概念と一致します。

境界のないコンパクトな曲面を「閉曲面」と呼びます。我々の目標は、閉曲面を 位相的に分類することです。

まず、最初のステップとして、たくさんの閉曲面をつくることを考えます。 前回までの構成を参考に、多角形（＝多辺形）の辺を２つずつ組にして貼り合わせることに します。余った辺があると境界ができてしまいますから、多角形には偶数個の辺があり、 ２個ずつ組にして、すべての辺を貼り合わせることにします。 ３個以上の辺を貼り合わせると、曲面にはなりません。
辺の個数を 2n 個とし、文字を a1, a2, ……, an の n種類の文字を２個ずつ用意し、各辺に割り当てていきます。 そのとき、向き（矢印）も書き込みます。 その指定の通りに辺を貼り合わせると、必ず閉曲面ができます。 証明は次回にまわします。



幾何学演習II

■重心座標の計算(1)

今回は、前回の続きを行った後、線分の点のその線分についての重心座標に ついて色々計算や図示を行いました。その後、三角形の点のその三角形についての 重心座標の計算に移りました。

各頂点の座標が「きれい」な正三角形を作ってみなさい、という課題も出しました。 次回に続きを学びます。