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■ 小テスト
直線 2x -3y +4 = 0 のパラメータ表示をひとつ見つけなさい。パラメータ表示と速度ベクトル
■ パラメータ表示
パラメータ表示 p(t) =(x(t), y(t)) の例として、だ円と双曲線について 解説を行った。以下、a>0, b>0 とする。問 双曲線 - x2/a2 + y2/b2 - 1 = 0 の上半分、 下半分のパラメータ表示を作りなさい。
- ○だ円 x2/a2 + y2/b2 - 1 = 0
- p=(a cos t, b sin t) 0≦t≦2π
- ○双曲線 x2/a2 - y2/b2 - 1 = 0 の右半分
- p=(a cosh t, b sinh t) -∞ < t < ∞
- ○双曲線 x2/a2 - y2/b2 - 1 = 0 の左半分
- p=(- a cosh t, b sinh t) -∞ < t < ∞
■ 速度ベクトル
一般にtの関数f(t)のtに関する導関数を上に点「・」をつけて、 f・(t)のように表す。 パラメータ表示p(t)=(x(t), y(t)) (a≦t≦b)についても、
p・(t)=(x・(t), y・(t))
のように表す。これは時刻tにおける速度ベクトルを表す。その大きさ |p・(t)|は時刻tにおける速さを表す。 速さを時間について積分すれば、運動の道のりが得られる。 これはつまり曲線の長さである:
曲線の長さ=∫ab |p・(t)| dt
演習
まず双曲三角関数に関する微分公式を証明してもらいました:
(cosh t)'= sinh t, (sinh t)'= cosh tレポート課題 cosh, sinh に関する加法定理の公式をみつけ、証明しなさい。
期限:5/8 講義開始時また演習プリントNo.1の1番を別の角度から検討し、 2番を解きました。
空間の直線のパラメータ表示と空間の平面の方程式による表示について学びました。