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弧長パラメータによる表示

何回でも微分可能な曲線 p= p(t) （a≦t≦b）が与えられており、 常に |p^・(t)| ＞ 0 と仮定します。

1. 弧長パラメータ s を
   
   　　　　s(t) = ∫_a^t|p^・(u)|du
   
   で定義します。
2. この関数は単調増加なので、逆関数を持ちます。 それを t=t(s) と表します。
3. t=t(s) を 代入することにより p を s の（ベクトル値）関数と思うことができます。 それを p(s) で表します。
4. s による微分を ’（ダッシュ）で表します。p’(s), p”(s) などが計算できます。

以下の例で、弧長パラメータによる表示を実際に求めてみました。

1. p(t)＝（2t-1, 3t+5）　　（2≦t≦4）
2. p(t)＝（3 cos t, 3 sin t）　　（0≦t≦2π）

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演習

上と同様のことを次の曲線で行いました（小テスト）。
　　　p(t)＝（e^t, 2e^t）　　（1≦t≦2）