曲面のパラメータ表示
○空間内の曲面を数式で表現する方法として、まず、方程式F(x,y,z) ＝ 0
によるものがあります。曲面が関数の
z ＝ f(x,y)
のグラフになっている場合も
z - f(x,y) ＝ 0
と書けるので、その特殊な場合と見なせます。
○もうひとつ、パラメータ表示によるものがあります：
p=p(u,v) (u,v)∈ D ⊂ R2
v を固定すると、p=p(u,v)は u をパラメータとする曲線になります。 これをu曲線といいます。逆に、u を固定すると、 p=p(u,v)は v をパラメータとする曲線になります。 これをv曲線といいます。
例： z = f(x,y) のグラフの場合は、 x=u, y=v とおけばパラメータ表示 p=(u,v,f(u,v)) が得られます。例えば z = x2+y2 の場合は、 パラメータ表示はp=(u,v,u2+v2) です。これを Maxima で描画したものが次の画像です：
z=x2-y2の場合は次のようになります：
曲面の上に格子模様が描かれていますが、これらがu曲線やv曲線たちです。
u曲線の接ベクトルpu（＝∂p/∂u）や v曲線の接ベクトルpv（＝∂p/∂v）は、 ともに曲面の接ベクトルにもなっています。 pu(a,b)とpv(a,b) が 一次独立と仮定しましょう。するとこのふたつのベクトルは p(a,b)における曲面の「接平面」の基底で、 ベクトル積 pu(a,b)×pv(a,b) は 「法線ベクトル」を与えます。 ν(a,b)=pu(a,b)×pv(a,b) ／｜pu(a,b)×pv(a,b)｜を 単位法線ベクトルといいます。
pu(u,v)やpv(u,v) はこれから重要な役割を 果たします。
パラメータ表示を与えることは、曲面上に「座標」(u, v) を導入することに他なりません。 例えば地球が半径１の球面であり、３次元空間の中で x2+y2+z2=1 という方程式で与えられているとします。 z軸の正の部分と球面の交点が北極、z軸の負の部分と球面の交点が南極と考えます。 z=0 の部分が赤道になります。 この球面の上の「座標」として、緯度 u と経度 v をとることにします（角の単位はラジアン)。 ただし、緯度 u は赤道上で0 、北極で π/2 、南極で -π/2とし、 経度 v は (1,0,0) の地点で 0 で、東に進むと大きくなり、西に進と小さくなるものとします。 -π/2≦u≦π/2、-π＜v≦πの範囲で考えます。 このふたつの数値が与えられれば、球面上の１点が定まります。 残念ながら、北極と南極では経度 v が定まりませんが、あまり気にしないことにします。 ともかく「座標」(u,v) をもつ点は空間の座標を用いて表すと
p=(cos u cos v, cos u sin v, sin u)
となります（下図参照）。
u曲線は、v を固定してえられる曲線ですが、v を固定するということは経度を 固定するということですから、得られるのは同じ経度を持つ点たち、すなわち ひとつの経線（半円周）になります。
v曲線は、u を固定してえられる曲線ですが、u を固定するということは緯度を 固定するということですから、得られるのは同じ緯度の点たちの作る曲線、 すなわちxy平面に平行な平面で切った円周になります。
演習
プリントNo.1 ４(3)(4) を解きました。(3)は小テストにしました。
曲面が方程式で与えられているとき、パラメータ表示に直す方法をいくつか解説しました。 □2+□2=1 とか □2-□2=1 の 形のものや回転図形などを取り上げました。
曲線の長さの求め方を復習しました。 また極座標r, θに関する方程式で与えられた図形のことを勉強しようとしましたが 時間が来てしまいました。次週続きをやります。