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小テスト：p=(u, v, 2u²-v²) のとき、 次の問いに答えよ。
(1) p_uを計算せよ。
(2) p_vを計算せよ。
(3) (u,v)=(0,0) のとき p_u(0,0) と p_v(0,0) は 一次独立か？一次独立ならp(0,0) におけるνを計算せよ。

曲面の面積

Dはuv平面の中の領域であり、p:D → R³ は ある曲面のパラメータ表示であるとします。

この曲面の面積 A は次の積分で与えられます：

　　　　A ＝ ∬_D| p_u×p_v |du dv

| p_u×p_v |du dv を dA とかき、 面積要素と呼びます。



定義：第一基本量 E, F, G を次のように定めます：

　　　E = p_u・p_u
　　　F = p_u・p_v
　　　G = p_v・p_v

このとき、 | p_u×p_v | は √(EG-F²) と等しい（プリントNo.1, 3(7)）ので、

　　　　dA ＝ √(EG-F²) du dv

　　　　A ＝ ∬_D√(EG-F²) du dv

と表現することもできます。

(u,v)の動く範囲が長方形 D=｛(u,v) | a≦u≦b, c≦v≦d｝であるような場合には、

　　　　∫_c^d｛∫_a^b | p_u×p_v |du ｝dv

　　　　∫_a^b｛∫_c^d | p_u×p_v |dv ｝du

のようにして計算することができます。

演習

プリントNo.1の８、 プリントNo.2の６、 プリントNo.3の１(a)(b)(c)、２(a)(b)(c) を解きました。

小テスト：p=(u, v, u²／a²＋v²／b²) のとき、p_u× p_vを計算せよ。