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曲面の曲率

３次元空間内の曲面に対して「曲率」の概念を導入します。

曲面のパラメータ表示 p=p(u,v) が与えられているとします。 曲面上の一点Pを考えます。この点における単位法線ベクトル ν をPを始点とするベクトルと考え、このベクトルを含むような 平面Πをとります。この平面Πの上にPを原点とする座標軸をとります。 ｙ軸はνの向きに取ります。このｙ軸は、空間のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とは 全く無関係です。Πのｘ軸は、y軸に直交するように、ふつうに取ります。 Πをどちらから見るかによって、二通りの取り方がありえますが、とりあえず、 どちらでもかまいません。この平面Πの上に、曲面と交わってできる曲線 q_Πが描かれます。 q_Πは原点でｘ軸に接しています。 q_Πの向きは、原点における速度ベクトルが右向き（ｘ軸の正の向き）に なるように決めます。これで、この曲線q_Πの原点における （平面曲線としての）曲率を考えることができます。 この曲率の値は、Πを裏側から見てｘ軸を取って考えても、同じになります。 さて、Πをνの周りに一周回転すると、それにともなって 曲線q_Πの原点における曲率も色々変わるでしょう （もちろん一定な場合もあります）。180度の回転で元に戻りますので、 これは最大値と最小値を持ちます。最大値をλ₁, 最小値をλ₂とします。

定義：λ₁とλ₂を主曲率といいます。また、

　　　K = λ₁λ₂

を、ガウス曲率といいます。

以前、第一基本量 E, F, G を次のように定めました：

　　　E = p_u・p_u
　　　F = p_u・p_v
　　　G = p_v・p_v

今回新たに、第二基本量 L, M, N を次のように定めます：

　　　L = p_uu・ν = - p_u・ν_u
　　　M = p_uv・ν = p_vu・ν = - p_u・ν_v = - p_v・ν_u
　　　N = p_vv・ν = - p_v・ν_v

公式：
　　　K = (LN-M²)/(EG-F²)

Kの計算例：x²+y²+z²=r² （半径 r の球面）

方法１：定義に基づいて、νを含む平面で切ってできる曲線を考えると、 それは半径 r の円周になり、曲率は 1/r （または - 1/r）です。 平面を回転してもその値は一定ですから、K = λ₁λ₂ = 1/(r²) となります。

方法２：パラメータ表示として

　　　p=(rcos u cos v, rcos u sin v, rsin u)

（-π/2＜u＜π/2、-π＜v≦π）を考えます。 上の公式の通りに計算すれば、同じ結果になるはずです。

以前平面における閉曲線の曲率を積分したものを2πで割ると「回転数」という整数が 得られることを観察しました。空間内の「閉」曲面 S においても
　　　(1/2π)∬_SK dA
がS の「オイラー標数」と呼ばれるある整数値になることが知られています。 「オイラー標数」については後期の幾何学IIで学びます。 興味のある方はぜひ受講してください。

また曲面 S の中の「三角形」ΔＡＢＣの内角の和に関する興味深い公式が 教科書に載っています：
　　　　∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ　＝　π　＋　∬_△ＡＢＣ K dA
球面の場合に色々な「三角形」を考えて、上の式が成り立つことを観察しましょう。