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面積・第一基本量・第二基本量・ガウス曲率

曲面のパラメータ表示が与えられたとします：

　　　p=p(u,v)　　　(u,v)∈ D ⊂ R²

v を固定すると、p=p(u,v)は u をパラメータとする曲線になります。 これをu曲線といいます。逆に、u を固定すると、 p=p(u,v)は v をパラメータとする曲線になります。 これをv曲線といいます。

u曲線の接ベクトルp_u（＝∂p/∂u）や v曲線の接ベクトルp_v（＝∂p/∂v）は、 ともに曲面の接ベクトルにもなっています。 p_u(a,b)とp_v(a,b) が 一次独立と仮定しましょう。するとこのふたつのベクトルは p(a,b)における曲面の「接平面」の基底で、 ベクトル積 p_u(a,b)×p_v(a,b) は 「法線ベクトル」を与えます。
ν(a,b)=p_u(a,b)×p_v(a,b) ／｜p_u(a,b)×p_v(a,b)｜を 単位法線ベクトルといいます。



パラメータ表示を与えることは、曲面上に「座標」(u, v) を導入することに他なりません。 例えば地球が半径１の球面であり、３次元空間の中で x²+y²+z²=1 という方程式で与えられているとします。 z軸の正の部分と球面の交点が北極、z軸の負の部分と球面の交点が南極と考えます。 z=0 の部分が赤道になります。 この球面の上の「座標」として、緯度 u と経度 v をとることにします（角の単位はラジアン)。 ただし、緯度 u は赤道上で0 、北極で π/2 、南極で -π/2とし、 経度 v は (1,0,0) の地点で 0 で、東に進むと大きくなり、西に進と小さくなるものとします。 -π/2≦u≦π/2、-π＜v≦πの範囲で考えます。 このふたつの数値が与えられれば、球面上の１点が定まります。 残念ながら、北極と南極では経度 v が定まりませんが、あまり気にしないことにします。 ともかく「座標」(u,v) をもつ点は空間の座標を用いて表すと

　　　p=(cos u cos v, cos u sin v, sin u)

となります（下図参照）。



u曲線は、v を固定してえられる曲線ですが、v を固定するということは経度を 固定するということですから、得られるのは同じ経度を持つ点たち、すなわち ひとつの経線（半円周）になります。
v曲線は、u を固定してえられる曲線ですが、u を固定するということは緯度を 固定するということですから、得られるのは同じ緯度の点たちの作る曲線、 すなわちxy平面に平行な平面で切った円周になります。
講義ではさらに一般に回転体のパラメータ表示の作り方を解説しました。

Dはuv平面の中の領域であり、p:D → R³ は ある曲面のパラメータ表示であるとします。

この曲面の面積 A は次の積分で与えられます：

　　　　A ＝ ∬_D| p_u×p_v |du dv

| p_u×p_v |du dv を dA とかき、 面積要素と呼びます。



定義：第一基本量 E, F, G を次のように定めます：

　　　E = p_u・p_u
　　　F = p_u・p_v
　　　G = p_v・p_v

このとき、 | p_u×p_v | は √(EG-F²) と等しい（プリントNo.1, 3(7)）ので、

　　　　dA ＝ √(EG-F²) du dv

　　　　A ＝ ∬_D√(EG-F²) du dv

と表現することもできます。

(u,v)の動く範囲が長方形 D=｛(u,v) | a≦u≦b, c≦v≦d｝であるような場合には、

　　　　∫_c^d｛∫_a^b | p_u×p_v |du ｝dv

　　　　∫_a^b｛∫_c^d | p_u×p_v |dv ｝du

のようにして計算することができます。

さらに、第二基本量 L, M, N を次のように定めます：

　　　L = p_uu・ν = - p_u・ν_u
　　　M = p_uv・ν = p_vu・ν = - p_u・ν_v = - p_v・ν_u
　　　N = p_vv・ν = - p_v・ν_v

ガウス曲率 K を次のように定義します：
　　　K = (LN-M²)/(EG-F²)

演習

演習プリントNo.3の1をやりました。 8のパラメータ表示を土曜日までの宿題にしました。 欠席の場合は友達に預けて提出してもらうか、直接研究室に持ってきてください。