[目次]

補足

曲面上のある点Pを考え、その点における接平面をΠと呼ぶことにします。 第一基本量 E, F, G がわかると、その定義から、ベクトル pu, pu の長さやその間の角(の余弦)がわかります：
  1. |pu| ＝ √{E}
  2. |pv| ＝ √{G}
  3. cos θ＝F/(√{E}√{G})
また、この接平面の任意の２つのベクトル αpu＋βpv, γpu＋δpv の内積は次の式で与えられることもわかります：
　　　　　　　　　┌　　　┐┌　┐
　　　　［α　β］│Ｅ　Ｆ││α│
　　　　　　　　　│Ｆ　Ｇ││β│
　　　　　　　　　└　　　┘└　┘

ガウス曲率の幾何学的な意味

曲面のパラメータ表示 p=p(u,v) が与えられているとします。 曲面上の一点Pを考えます。この点における単位法線ベクトル ν をPを始点とするベクトルと考え、このベクトルを含むような 平面Πをとります。この平面Πの上にPを原点とする座標軸をとります。 ｙ軸はνの向きに取ります。このｙ軸は、空間のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とは 全く無関係です。Πのｘ軸は、y軸に直交するように、ふつうに取ります。 Πをどちらから見るかによって、二通りの取り方がありえますが、とりあえず、 どちらでもかまいません。この平面Πの上に、曲面と交わってできる曲線 qΠが描かれます。 qΠは原点でｘ軸に接しています。 qΠの向きは、原点における速度ベクトルが右向き（ｘ軸の正の向き）に なるように決めます。これで、この曲線qΠの原点における （平面曲線としての）曲率を考えることができます。 この曲率の値は、Πを裏側から見てｘ軸を取って考えても、同じになります。 さて、Πをνの周りに一周回転すると、それにともなって 曲線qΠの原点における曲率も色々変わるでしょう （もちろん一定な場合もあります）。180度の回転で元に戻りますので、 これは最大値と最小値を持ちます。最大値をλ1, 最小値をλ2とします。

定義：λ1とλ2を主曲率といいます。


定理
　K = λ1λ2

この公式を用いて、半径 r の球面のガウス曲率が 1/r2 であることを示しました。



一般の曲面において、局所的に最短であるような曲線を「測地線」と呼ぶことにします。 球面では、大円が測地線となります。測地線で囲まれる「三角形」の面積について 考察を行います。

今日は半径rの球面の上の三角形ABCにおいて、
　　　(1/r2)△ABC ＝∠A ＋∠B＋∠C − π
が成り立つことを観察しました。


演習

演習プリントNo.3の8を解きました。 また3の問題を途中まで解きました。続きは次回行います。