幾何学Ｉ
下では「角」と「その大きさ」をあまり区別しないで使っていますので、ご注意願います。
n角形の内角の和が (n-2)x180°である ことはよく知られています。 しかし、次の定理はこの事実と本質的に同じことを表していて、 しかもよりシンプルです：
定理． n角形の外角の和は360°である。
頂点における外角とは内角との和が180°である角のことです。 例えば下の例では緑の矢印で示した外角は正ですが、 赤の矢印で示した外角は(内角が180°を超えているので)負と考えます。 すると、内角の和と外角の和の合計はnx180°ですから、そのうちの内角の和 (n-2)x180°をひくと外角の和が 2x180°＝360°であるとわかります。
上のように考えた外角は、仮に多角形の周上を反時計回りに回ると考えたとき、 進行方向が各頂点で「折れ曲がる」その角度を、符号をつけて考えたものになっています。 これがその頂点における「回転角」です。 したがって上の定理は 「n角形の回転角の総合計は360°である」 と表現できます。（反時計回りの向きでは-360°になります。）
これはこれで面白いのですが、どんな多角形でも回転角の総合計が360°というのは、 なんだかつまらないような気もしてきます。 そこで、n角形の概念を拡張して、隣り合わない辺がぶつかってもよいとすると、 面白い現象が起きます。
上の左の図では、総合計が0°になります。また右の図では総合計が720°になります。 つまりそれぞれ360°の0倍、2倍になっています。 興味のある方は、これらの数に関して色々考えてみてください。
演習
双曲線関数（cosh t, sinh t, tanh t）の定義といくつかの公式の証明を行いました。