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幾何学Ｉ

弧長パラメータによる表示と曲率

何回でも微分可能な曲線 p= p(t) （a≦t≦b）が与えられており、 常に |p^・(t)| ＞ 0 と仮定します。

1. 弧長パラメータ s を
   
   　　　　s(t) = ∫_a^t|p^・(u)|du
   
   で定義します。
2. この関数は単調増加なので、逆関数を持ちます。 それを t=t(s) と表します。
3. t=t(s) を 代入することにより p を s の（ベクトル値）関数と思うことができます。 それを p(s) で表します。
4. s による微分を ’（ダッシュ）で表します。p’(s), p”(s) などが計算できます。

p’(s)に関して次のことが成り立ちます：

■ 命題：|p'(s)|＝1である。 つまり、p’(s)は単位ベクトルである。

この単位ベクトルを e(s) で表します：　e(s)＝p’(s)。 単位ベクトルなので、このベクトルとx軸の正の向きのなす角度をθ(s)とおくと、
　　　e(s)＝(cos θ(s), sin θ(s))
と書けます。θ(s) は2nπだけのあいまいさがあることに注意してください。

e(s)＝(cos θ(s), sin θ(s)) を反時計回りにπ/2回転してえられるベクトル
　　　n(s)＝(-sin θ(s), cos θ(s))
を考えます。つまりn(s)は進行方向左向きの単位法線ベクトルです。

■ 定義：曲率(関数)κ(s)＝θ’(s)

これは曲線の曲がり具合を表す量です。

以下の例で、曲率を実際に求めてみました。

• p(t)＝（2 cos 3t, 2 sin 3t）　　（0≦t≦π/2）

演習

以下の例で、曲率を実際に求めてみました。

• p(t)＝（cos (-2t), sin (-2t) ）　　（π/2 ≦t≦π）

次回、θ(s)を求める部分を再度解説します。