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第一基本量・第二基本量・ガウス曲率

前回の続きです。

定義：第一基本量 E, F, G を次のように定めます：

　　　E = p_u・p_u
　　　F = p_u・p_v
　　　G = p_v・p_v

このとき、 | p_u×p_v | は √(EG-F²) と等しい（プリントNo.1, 3(7)）ので、

　　　　dA ＝ √(EG-F²) du dv

　　　　A ＝ ∬_D√(EG-F²) du dv

と表現することもできます。

(u,v)の動く範囲が長方形 D=｛(u,v) | a≦u≦b, c≦v≦d｝であるような場合には、

　　　　∫_c^d｛∫_a^b | p_u×p_v |du ｝dv

　　　　∫_a^b｛∫_c^d | p_u×p_v |dv ｝du

のようにして計算することができます。

さらに、第二基本量 L, M, N を次のように定めます：

　　　L = p_uu・ν = - p_u・ν_u
　　　M = p_uv・ν = p_vu・ν = - p_u・ν_v = - p_v・ν_u
　　　N = p_vv・ν = - p_v・ν_v

ガウス曲率 K を次のように定義します：
　　　K = (LN-M²)/(EG-F²)

演習

単位球面でガウス曲率の計算を行いました。