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主曲率とガウス曲率

曲面のパラメータ表示 p=p(u,v) が与えられているとします。 曲面上の一点Pを考えます。この点における単位法線ベクトル ν をPを始点とするベクトルと考え、このベクトルを含むような 平面Πをとります。この平面Πの上にPを原点とする座標軸をとります。 ｙ軸はνの向きに取ります。このｙ軸は、空間のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とは 全く無関係です。Πのｘ軸は、y軸に直交するように、ふつうに取ります。 Πをどちらから見るかによって、二通りの取り方がありえますが、とりあえず、 どちらでもかまいません。この平面Πの上に、曲面と交わってできる曲線 q_Πが描かれます。 q_Πは原点でｘ軸に接しています。 q_Πの向きは、原点における速度ベクトルが右向き（ｘ軸の正の向き）に なるように決めます。これで、この曲線q_Πの原点における （平面曲線としての）曲率を考えることができます。 この曲率の値は、Πを裏側から見てｘ軸を取って考えても、同じになります。 さて、Πをνの周りに一周回転すると、それにともなって 曲線q_Πの原点における曲率も色々変わるでしょう （もちろん一定な場合もあります）。180度の回転で元に戻りますので、 これは最大値と最小値を持ちます。最大値をλ₁, 最小値をλ₂とします。

定義：λ₁とλ₂を主曲率といいます。

定理
　K = λ₁λ₂

この公式を用いて、半径 r の球面のガウス曲率が 1/r² であることを示しました。

一般の曲面において、局所的に最短であるような曲線を「測地線」と呼ぶことにします。 球面では、大円や大円の弧でできている曲線が測地線となります。 来週、測地線で囲まれる「三角形」の面積について考察を行います。

演習

平面曲線を回転して得られる曲面のパラメータ表示を求める練習をしました。