#2. 実数の性質・自然数の性質

10/6, 10/13 で、実数や自然数に関する基礎的事項の復習をしました。 以下の事柄は必ず（よく理解して）覚えておきましょう。 なお、Rは実数全体の集合、Nは自然数全体の集合を表します。

●上界・下界、有界性、最大値、上限・下限の定義

1. c (∈R)がE (⊂R)の上界（下界）であるとはどういうことか？
2. E (⊂R)が上に有界（下に有界、有界）であるとはどういうことか？
3. c (∈R)がE (⊂R)の最大値（最小値）であるとはどういうことか？
4. E (⊂R)の上限（下限）とはどういうものか？　どのようなときに存在するか？

●自然数の性質（アルキメデスの公理）

自然数に関して次のことが成りたつ。

自然数全体の集合Nは上に有界でない。

任意のε>0 と任意の実数 L に対して ∃n∈N（nε > L）

任意のε>0 に対して ∃n∈N（ε > 1/n）

●数列の収束

(実)数列 {a_n} が a∈Rに収束するとはどういうことか？

問：{1/n} が 0 に収束することを証明せよ。

問：「{a_n} が a に収束する　＜＝＞　{|a_n-a|} が 0 に収束する」 を証明せよ。

以下については、講義で触れることができませんでした。 またチャンスがあれば復習します。各自、調べておいてください。

●実数の完備性

定理．上に"有界な単調増加数列"は収束する。

数列がコーシー列であるとはどういうことか？

定理．数列が収束するにはコーシー列であることが必要十分である。