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連続写像の特徴付け

まず、内点・開集合の２概念の復習をし、その後、以下の問題を解きました

■問　

1. ユークリッド直線 (R,d) の部分集合 A ＝[0, ∞) と点 x=2 を考える。 x は A の内点であることを示せ。
2. ユークリッド平面 (R²,d) の部分集合 A ＝｛x∈R²｜d(x,(0,0))≧1｝と点 x=(1, 1/2) を考える。 x は A の内点であることを示せ。[今日の小テスト問題]

略解：

1. ε＝1 とおけば、N(x;ε)⊂A となる。
2. ε＝(√{5})/2 −1 とおけば、N(x;ε)⊂A となる。

そのあと、次の定理を証明しました：

■定理　 (X,d_X), (Y, d_Y) は距離空間、f：X → Y は写像とする。 このとき、次は同値：

1. f は連続写像　（つまり、x_n → x ならば f(x_n) → f(x) ）
2. ∀x∈X （∀ε＞0（∃δ＞０（　f(N(x；δ))⊂N(f(x)；ε)　 ）））
3. (Y,d_Y) の任意の開集合 V に対して、f^-1(V) は (X,d_X) の開集合

演習のプリントを配布しました。[pdf ファイル]