#3. 実数の性質・自然数の性質、距離空間の点列

10/20 は、実数や自然数に関する基礎的事項の復習および、距離空間の点列の収束について学びました。

●上界・下界、有界性、最大値、上限・下限の定義の確認

小テスト：

数直線の部分集合｛ 1/n | n∈N｝を A とかくことにする。次の問に答えよ。

1. A は上に有界であるか。A は下に有界であるか。
2. もしあれば、sup A （A の上限）と inf A （A の下限）を求めよ。
3. もしあれば、max A （A の最大値）と min A （A の最小値）を求めよ。

●点列の収束

距離空間 (X, d) の点列｛x_n｝と点 x を考える。

点列 {x_n} が x に収束する　＜＝＞　数列 { d(x_n,x) } が 0 に収束する

問：R² の点列 { (1/n, 1/n) } が (0,0) に収束するかどうか、 以下のおのおのの距離関数のもとで調べよ。

• d(x, y) = ((x₁-y₁)² + (x₂-y₂)²)^1/2
• d'(x, y) = |x₁-y₁| + |x₂-y₂|
• d"(x, y) = max{ |x₁-y₁|, |x₂-y₂| }
• d_D(x, y) = 1 (x≠yのとき)、d_D(x, y) = 0 (x＝yのとき)

問：距離空間 (X, d) の点列｛x_n｝に対し、x_n→x かつ x_n→x' ならば、x=x' であることを示せ。