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#8. 開集合の性質と位相空間

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定理:(X,d) を距離空間、AをXの部分集合とする。このとき
  1. Ai は Aに包まれる開集合の中で最大のものである。
  2. Aa は Aを包む閉集合の中で最小のものである。


距離空間 (X,d) の開集合の全体を d(X) で表し、これを (X,d) の開集合系と呼ぶ。
距離空間 (X,d) の閉集合の全体を d(X) で表し、これを (X,d) の閉集合系と呼ぶ。


d(X) の性質
  1. X∈ d(X) , φ∈ d(X)
  2. U1, U2, ……, Und(X)  => U1 ∩ U2 ∩ …… ∩ Und(X)
  3. Uλd(X) (λ∈Λ) => ∪λ∈Λ Uλd(X)


d(X) の性質
  1. φ∈ d(X) , X∈ d(X)
  2. F1, F2, ……, Fnd(X)  => F1 ∪ F2 ∪ …… ∪ Fnd(X)
  3. Fλd(X) (λ∈Λ) => ∩λ∈Λ Fλd(X)




以後、Xは空でない集合とする。必ずしも距離空間の構造が与えられているとは仮定しない。

Xの部分集合の系 が次の3条件を満たすとき、Xの位相であるという
  1. X∈ , φ∈
  2. U1, U2, ……, Un  => U1 ∩ U2 ∩ …… ∩ Un
  3. Uλ (λ∈Λ) => ∪λ∈Λ Uλ
集合 X とその位相の対 (X,) を位相空間という。 位相の要素を (X,) の開集合という。


距離空間においては、距離を使って内点の定義を行い、その和集合として内部を定義し、 内部を用いて開集合の定義を行った。
距離空間にいては、まず最初に開集合の概念がある。そこで、一番上に記した 「距離空間における内部の特徴付け」をまねして、「内部」の概念を導入する。

定義:(X,) を位相空間、AをXの部分集合とする。このとき Aに包まれる開集合の中で最大なものを Ai と表し、A の内部という。

※ 「最大なもの」は、具体的には、「Aに包まれる開集合たちすべての和集合」として定義できる。

内部の概念があれば、ただちに Ae = Aci として外部を定義でき、 さらに、境界 Af=(Ai∪Ae)c や 閉包 Aa=Ai∪Af も定義できる。 したがって、点列に関する事柄を除き、今まで学んだほとんどのことが、位相空間でも なりたっている。