#5. 内部・外部・境界

(X,d):距離空間、A⊂X, B=A^c (Aの補集合)

Aⁱ (A の内部) は Aⁱ⊂A をみたしている。

定義：A^e = Bⁱ ：Aの外部 ＝ Aの補集合の内部

A^e⊂A^c, したがって A∩A^e＝φ が成り立つ。 特に Aⁱ∩A^e＝φ も成り立つ。

定義：A^f = (Aⁱ∪A^e)^c ：Aの境界＝内部や外部以外の部分

つまり X は互いに交わらない３つの部分 Aⁱ, A^f, A^e に わかれ、B=A^c とおくとき、Aⁱ=B^e, A^f=B^f, A^e=Bⁱ が成り立つ。

A ‖ Bc

Ac ‖ B

↓

Ai ‖ Be

Af ‖ Bf

Ae ‖ Bi

課題：R²の部分集合 A={(x₁,x₂) | x₁²+x₂²＜ 1}， C={(x₁,x₂) | x₁²+x₂²≦ 1} の内部、外部、境界を求めなさい。 ただし、距離関数として、いつもの d, d', d", d_D の４通りを考えます。