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■幾何学II

単体的複体の「鎖複体」に関して、∂∂＝０が成りたつことを観察しました。 そして、一般の線形写像の列｛∂：C_p→C_p-1 ｝_p が、同様に∂∂＝０を満たすとき、これを（実係数）鎖複体と呼ぶことにしました。

定義：
　Z_p=Ker{ ∂：C_p→C_p-1 } ={ x∈C_p | ∂(x)=0 }
　B_p=Im{ ∂：C_p+1→C_p } ={ ∂(y)∈C_p | y∈C_p+1 }

　※　ともに、C_p の線形部分空間である。

定理：Z_p ⊃ B_p

定理：B_p-1 ＝ C_p / Z_p （同型）
　　　dim B_p-1 + dim Z_p = dim C_p


次回は、上で出てくる次元を∂の表現行列のrankなどと関連づける予定です。

■幾何学演習II

色々な１次元複体で上で出てくる線形空間たちを調べました。

レポート課題：次の図で与えられる複体で、 dim Z_p, dim B_p を 求めなさい。定理を用いず、定義に基づいて計算しなさい。
(1) スミ
(2)

  a             b             c
　・――――――・――――――・

(3)

　　　　　a
　　　　　・
　　　　／　＼
　　　／　　　＼
　　／　　　　　＼
 b・―――――――・c
　　＼
　　　＼
　　　　＼
　　　　　・d