#8. 開集合の性質と位相空間

定理：(X,d) を距離空間、AをXの部分集合とする。このとき

1. Aⁱ は Aに包まれる開集合の中で最大のものである。
2. A^a は Aを包む閉集合の中で最小のものである。

距離空間 (X,d) の開集合の全体を Ｏ_d(X) で表し、これを (X,d) の開集合系と呼ぶ。
距離空間 (X,d) の閉集合の全体を Ａ_d(X) で表し、これを (X,d) の閉集合系と呼ぶ。

Ｏ_d(X) の性質

1. X∈ Ｏ_d(X) , φ∈ Ｏ_d(X)
2. U₁, U₂, ……, U_n ∈ Ｏ_d(X) 　＝＞　U₁ ∩ U₂ ∩ …… ∩ U_n ∈ Ｏ_d(X)
3. U_λ ∈ Ｏ_d(X)　(λ∈Λ) ＝＞ ∪_λ∈Λ U_λ ∈ Ｏ_d(X)

Ａ_d(X) の性質

1. φ∈ Ａ_d(X) , X∈ Ａ_d(X)
2. F₁, F₂, ……, F_n ∈ Ａ_d(X) 　＝＞　F₁ ∪ F₂ ∪ …… ∪ F_n ∈ Ａ_d(X)
3. F_λ ∈ Ａ_d(X)　(λ∈Λ) ＝＞ ∩_λ∈Λ F_λ ∈ Ａ_d(X)

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以後、Xは空でない集合とする。必ずしも距離空間の構造が与えられているとは仮定しない。

Xの部分集合の系 Ｏ が次の３条件を満たすとき、Xの位相であるという

1. X∈ Ｏ, φ∈ Ｏ
2. U₁, U₂, ……, U_n ∈ Ｏ 　＝＞　U₁ ∩ U₂ ∩ …… ∩ U_n ∈ Ｏ
3. U_λ ∈ Ｏ　(λ∈Λ) ＝＞ ∪_λ∈Λ U_λ ∈ Ｏ

集合 X とその位相Ｏの対 (X,Ｏ) を位相空間という。 位相Ｏの要素を (X,Ｏ) の開集合という。

距離空間においては、距離を使って内点の定義を行い、その和集合として内部を定義し、 内部を用いて開集合の定義を行った。
距離空間にいては、まず最初に開集合の概念がある。そこで、一番上に記した 「距離空間における内部の特徴付け」をまねして、「内部」の概念を導入する。

定義：(X,Ｏ) を位相空間、AをXの部分集合とする。このとき Aに包まれる開集合の中で最大なものを Aⁱ と表し、A の内部という。

※　「最大なもの」は、具体的には、「Aに包まれる開集合たちすべての和集合」として定義できる。

内部の概念があれば、ただちに A^e ＝ A^ci として外部を定義でき、 さらに、境界 A^f＝(Aⁱ∪A^e)^c や 閉包 A^a＝Aⁱ∪A^f も定義できる。 したがって、点列に関する事柄を除き、今まで学んだほとんどのことが、位相空間でも なりたっている。