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■幾何学II

実係数の鎖複体 C={C_p, ∂} のp次元ホモロジー群 H_p(C) (p∈Z) を次のように定義します。

定義： H_p(C) ＝ Z_p ／ B_p
　※　これは線形空間となる。

定理：dim H_p(C) ＝ dim Z_p - dim B_p

定義：単体的複体 K のp次元実係数ホモロジー群 H_p(K;R) は H_p({C_p(K;R), ∂}) で定める。 つまり H_p(K;R) ＝ Z_p(K;R) ／ B_p(K;R)　と定める。


線形空間 V, W の基底 { v₁, v₂, ……, v_n}, { w₁, w₂, ……, w_m}, が与えられ、線形写像 f:V→W が mxn行列 A で表されているとする。 このとき dim Im(f) ＝ rank(A) という等式が成りたつ。 行列の階数(ランク)は行基本変形を行って計算することができる。 したがって、∂：C_p → C_p-1 の表現行列から、 dim B_p-1 ＝ dim Im{∂：C_p → C_p-1} が求まる。
dim B_p-1 ＋ dim Z_p ＝ dim C_p という関係式があり、 dim C_p は簡単に求まる（ C_p ＝ C_p(K;R) の 場合は、K の p単体の個数） ので、dim Z_p も求まることになる。 よって上の定理より、dim H_p も計算できる。

定理：n次元の実係数鎖複体に関して、次の等式が成りたつ：
dim H₀ - dim H₁ + dim H₂ - …… ±　dim H_n ＝ dim C₀ - dim C₁ + dim C₂ - …… ±　dim C_n
（証明は演習でやった）


定理：|K| が"連結"な図形であるならば、dim H₀(K;R) ＝ 1である。
（未証明）

上の定理を使えば、１次元の複体のホモロジー群は簡単に計算できる。また、 計算結果のチェックにも使うことができる。

■幾何学演習II

レポート課題：次の図で与えられる複体で、 dim H_p(K;R) (p=0,1,2) を求めなさい。
(1) K={|abc|, |ab|, |bc|, |ca|, |bd|, |a|, |b|, |c|, |d|}

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 b・―――――――・c 
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　　　　　・d

(2) K={|abc|, |ab|, |bc|, |ca|, |bd|, |cd|, |a|, |b|, |c|, |d|}

　　　　　a
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 b・―――――――・c 
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(3) 正四面体abcdの表面（2単体は４つ)
　　K={|abc|, |abd|, |acd|, |bcd|, |ab|, |ac|, |ad|, |bc|, |bd|, |cd|, |a|, |b|, |c|, |d|}